Impresión 3D de andamios compuestos de ácido poliláctico/alginato de sodio/hidroxiapatita con morfología de tejido trabecular diseñados mediante el modelo extendido Komarova - Hohenberg

La impresión tridimensional (3D) es un proceso de fabricación de alta velocidad para biomateriales de tejido óseo, que facilita el camino para resolver los problemas clínicos de defectos óseos de una nueva manera. Utilizando la técnica de proceso de diseño matemático y fabricación asistida por impresión 3D (MDP-3DPAM), se obtuvieron andamios a base de materiales compósitos microporosos de ácido poliláctico (PLA), alginato de sodio e hidroxiapatita, cuya microestructura se obtiene numéricamente a partir de un modelo matemático. Este modelo es del tipo reacción-difusión de interacciones autocrinas y paracrinas entre osteoblastos y osteoclastos con términos biarmónicos que permite simular el proceso de remodelación ósea. La microporosidad del material compuesto mimetiza la estructura del hueso trabecular humano. Se observa una estrecha relación entre la estrctura microporosa del material y su módulo de elasticidad. La metodología muestra potencial para generar estructuras que permitan el control de las propiedades del material compuesto. Se demostró que las propiedades de biocompatibilidad son mejores que las del andamio de PLA puro. Esta estructura compuesta proporciona una estrategia prometedora para la reparación de grandes defectos óseos.

Caracterización del asentamiento de partículas en un modelo matemático unidimensional mediante la ecuación Jerk

En este trabajo, presentamos un análisis de las características que influyen en la sedimentación las partículas en un modelo matemático unidimensional partir de la ecuación Jerk. A partir de este modelo, estudiamos las características de la sedimentación de partículas para diferentes condiciones de contorno a través de los parámetros de la ecuación Jerk y el tamaño del espacio donde se encuentran las partículas. Analizamos cómo influyen estos parámetros en el tiempo de sedimentación y su relación con el medio de dispersión. Además, exploramos el tiempo promedio de asentamiento, las distribuciones de probabilidad para el desplazamiento medio y los cambios que muestra la distribución de probabilidad de los tiempos de asentamiento para diferentes tamaños del espacio.

Solitones No Autónomos de la Ecuación No Lineal de Schrödinger con Potencial Lineal

El objetivo del presente trabajo es resumir los métodos teóricos de la obtención de las soluciones exactas de la ecuación no lineal de Schrödinger (NLSE) con el potencial lineal. Presentamos el método de M. Ablowitz, D. Kaup, A. Newell, y H. Segur (AKNS) y las pares de Lax que prueban la integrabilidad completa de esta ecuación y el método de transformaciones de Bäcklund que permite obtener sus soluciones N-solitonicas. Analizamos y graficamos la dinámica de un solitón y demostramos la interacción elástica de los solitones no autónomos. Palabras clave: Solitones no autonomos, Física no lineal, Ecuación no lineal de Schrodringer

Reconstrucción de ecuaciones dinámicas no lineales usando machine learning

La teoría de sistemas dinámicos busca investigar el comportamiento de sistemas o fenómenos gobernados por la evolución temporal y espacial de variables intrínsecas. Un problema fundamental en el modelado de sistemas es, precisamente, la identificación del conjunto de funciones que capturen los factores claves de la dinámica y las interacciones externas que afectan su comportamiento. Particularmente, cuando se trata de sistemas dinámicos no lineales, la alta dimensionalidad y complejidad obstaculiza la selección de ecuaciones que describan el fenómeno en diferentes regímenes. En este punto es donde los algoritmos de inteligencia artificial toman relevancia, debido a que éstos han demostrado una capacidad sobresaliente para revelar relaciones complejas no lineales entre las entradas y el objetivo, a partir de piezas de información extraídas de grandes conjuntos de datos. En este trabajo se presenta una generalización del sistema Hamiltoniano de Hénon-Heiles para estudiar la precisión de métodos de aprendizaje automático usados para reconstruir modelos matemáticos, específicamente, el método de identificación dispersa de dinámica no lineal. Las ecuaciones que gobiernan la dinámica se reconstruyen usando únicamente series de tiempo. Los resultados muestran que el método de reconstrucción es una herramienta robusta que no solo permite la obtención de las ecuaciones de movimiento con precisión, también es capaz de reconstruir expresiones analíticas aproximadas de trayectorias periódicas.

Interacción y evolución adiabática de impulsos ortodrómicos y antidrómicos en el fluido axoplasmático

A diferencia de las predicciones del modelo clásico de Hodgkin-Huxley, donde se supone que dos impulsos ortodrómicos y antidrómicos se aniquilan al colisionar, el modelo de Heimburg-Jackson muestra que estos impulsos se penetran mutuamente, lo cual coincide con los resultados de experimentos recientes. Estos impulsos pueden entenderse como excitaciones no lineales de baja amplitud en un modelo solitónico débilmente disipativo, descrito por la ecuación no lineal de Schrödinger amortiguada. En este contexto, la teoría perturbativa de Karpman-Solov’ev-Maslov proporciona un marco ideal para estudiar la interacción y la evolución adiabática de los impulsos ortodrómicos y antidrómicos dentro del fluido axoplásmico del nervio.

Redes Neuronales Informadas por la Física Aplicadas a Sistemas Dinámicos

En este trabajo se aplican las Redes Neuronales Informadas por la Física, o PINN's por sus siglas en inglés, como herramienta para estudiar sistemas físicos descritos por ecuaciones diferenciales. La formulación original trata sistemas de ecuaciones de la forma $$ {\bf u}_t + \mathcal{N}[{\bf u}; \lambda] \ = \ 0\quad , \qquad t\in [0,T], \ {\bf x}\in \Omega \ $$ sujetas a las condiciones iniciales y de frontera $${\bf u}(0,{\bf x}) \ = \ g({\bf x})\ , \quad {\bf x}\in \Omega \ $$ $$\mathcal{B}[{\bf u}] \ = \ 0\ , \quad t\in [0,T], \ {\bf x}\in \partial \Omega $$ donde ${\bf u}(t,{\bf x})$ describe la solución desconocida, $\mathcal{N}$ es un operador diferencial no lineal, $\lambda$ son parámetros del modelo y $\mathcal{B}$ es un operador correspondiente a condiciones de frontera. $\\$ Posteriormente, la solución desconocida ${\bf u}(t,{\bf x})$ se representa mediante una red neuronal profunda ${\bf u}_\theta ({\bf x})$ donde $\theta$ denota los parámetros ajustables de la red, es decir pesos y sesgos. A partir de esto se construye una función de pérdida que cuantifica la discrepancia entre la red y las condiciones que imponen las ecuaciones que definen al sistema original. Llevando a cabo el proceso de minimización de la función de pérdida, se restringe la red neuronal ${\bf u}_\theta ({\bf x})$ para que cumpla con la física impuesta por la ecuación diferencial parcial y las condiciones de contorno. $\\$ En este estudio se aplica esta metodología en problemas directos (inferir soluciones) para la ecuación de Poisson en una dimensión y la ecuación de Hamilton-Jacobi con condiciones de frontera. También se aplica a problemas inversos (hallar parámetros de ecuaciones diferenciales) para en el atractor de Lorenz y el sistema de Hénon-Heiles.

Correlación entre el promedio del intervalo entre latidos y la recuperación cardiaca en mujeres

La variación de los intervalos entre latidos nos brinda información de la condición física de las personas. A mayor valor del promedio de los intervalos (RR) se traduce en una mejor salud. Algunos autores han propuesto la velocidad de recuperación cardiaca (VRC) como un indicador de mortalidad. El objetivo del presente trabajo es medir la VRC; ajustando una recta a los intervalos RR obtenidos al primer minuto, después de realizar ejercicio, y obtener la pendiente. Se trabajó con 13 mujeres de 18 a 25 años realizando 2 pruebas en días diferentes. Se les colocó un electrocardiógrafo para registrar su electrocardiograma, en reposo, en ejercicio (de 1 y 5 minutos pedaleando a 200 watts) y en recuperación. Encontramos que a mayor promedio de RR la VRC fue mayor, con una correlación lineal con R=0.65. Concluimos que la VRC y el RR se correlacionan, ambos parámetros reflejan el estado de salud. Agradecemos el apoyo del Departamento de Física de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Análisis en frecuencia de la dinámica de neuronas

En general, la sinapsis es la unión intracelular especializada entre células excitables, esta unión ocurre cuando dos células están muy cerca y sus membranas están equipadas para transmitir señales químicas o eléctricas. La sinapsis eléctrica surge por la unión de las membranas plasmáticas de las células, donde la transmisión entre las células no se produce por la secreción de un neurotransmisor, sino por el paso de iones de una célula a otra a través de uniones tipo gap; que son pequeños canales formados por acoplamiento de proteínas, en células estrechamente adherentes. En estas conexiones la corriente fluye en ambas direcciones y prácticamente no hay retrasos sinápticos. Sin embargo, los canales no siempre están abiertos y son modulados por los agentes reguladores. Matemáticamente, este tipo de sinapsis se puede definir como una función de la salida entre el potencial eléctrico de las células multiplicado por la conductancia eléctrica del canal. En este trabajo se presenta la descripción completa del modelo matemático de una neurona, así como la interpretación física de cada parámetro del modelo. Mediante una simulación numérica se caracteriza la sinapsis de la neurona ante variación paramétrica, además, a partir de la función de transferencia, ante distintos estímulos de la neurona, se estima el porcentaje de sobre disparo, la relación de amortiguación, la frecuencia natural, el tiempo de asentamiento, el tiempo pico y el tiempo de subida.

Análisis estadístico de imágenes encriptadas mediante sistemas caóticos

Los sistemas caóticos han sido utilizados en una amplia gama de aplicaciones debido a la sensibilidad de la respuesta generada para distintas condiciones iniciales. Entre las diferentes aplicaciones se encuentra el cifrado de imágenes. La encriptación de imágenes consiste en general de dos etapas. Primero, los pixeles de la imagen se permutan entre si, proceso conocido como barajar. Segundo, se cambia la intensidad de los valores de los pixeles (difusión) de forma pseudoaleatoria. En este trabajo se comparan propiedades estadísticas del cifrado de imágenes mediante un algoritmo al se le puede implementar distintos sistemas no lineales con comportamiento caótico. En particular nos concentramos en un sistema Jerk tipo Duffing con potencial de triple pozo. Para este fin, se lleva a cabo la comparación entre las imágenes de 8-bits cifradas y la imagen de 8-bits idealmente cifrada (en la cual la entropía toma el valor de ocho). Se realiza el análisis estadístico en las imágenes originales y encriptadas para evaluar la eficacia de la encriptación. El análisis se realiza mediante la distribución de probabilidad del color de pixeles, la comparación de la correlación entre pixeles adyacentes de cada una de las imágenes y la entropía de información de Shannon. Se encuentra que los sistemas caóticos son viables en el encriptado de imágenes ya que el valor de entropía de Shannon encontrada es cercana al valor de ocho.

Desarrollo de Redes Neuronales Artificiales para la reconstrucción de Sistemas Hamiltonianos

La teoría de sistemas dinámicos describe el comportamiento de sistemas físicos a través de la evolución temporal de las variables intrínsecas del sistema. Las ecuaciones de movimiento permiten explicar el comportamiento del sistema a lo largo del tiempo. El Hamiltoniano, una función fundamental en la mecánica clásica representa la energía total del sistema y juega un papel crucial en la comprensión y el modelado de sistemas dinámicos, con aplicaciones desde la termodinámica hasta la teoría cuántica de campos. A partir del Hamiltoniano, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento que describen la evolución temporal del sistema. Estas ecuaciones son esenciales para predecir el comportamiento del sistema y analizar su estabilidad. Sin embargo, en muchos casos, la expresión hamiltoniana no se conoce de manera explícita, lo que dificulta el estudio del sistema. Identificar estas ecuaciones a partir de datos experimentales puede ser un desafío, especialmente en sistemas complejos. En este trabajo se propone el desarrollo de redes neuronales artificiales (RNA) para reconstruir la expresión hamiltoniana a partir de datos de la evolución temporal de las variables canónicas del sistema. Para establecer un ambiente controlado se construye una base de datos que incluye la integración numérica de las ecuaciones de movimiento de diferentes sistemas dinámicos hamiltonianos, como el oscilador armónico y el modelo de Henon-Heiles. Las RNA se diseñan y entrenan utilizando esta base de datos para aproximar la expresión del Hamiltoniano del sistema. Los resultados de las RNA se validan con para diferentes condiciones paramétricas de los sistemas estudiados. Nuestros resultados muestran que las RNA entrenadas pueden aproximar con alta precisión la expresión teórica del Hamiltoniano para los sistemas dinámicos.

Modelado de la actividad eléctrica del corazón usando redes neuronales

El corazón es uno de los órganos más vitales y complejos del cuerpo humano. A pesar de los avances en medicina y tecnología, las enfermedades cardiacas siguen siendo una de las principales causas de muerte en el mundo. Una interpretación precisa de su dinámica puede ser esencial para el diagnóstico y prevención de enfermedades cardiacas. Por ello, el desarrollo de sistemas que contribuyan a nuevos tratamientos que mejoren la calidad de vida de las personas es fundamental, y para diseñarlos es esencial comprender los mecanismos de funcionamiento del corazón. En este sentido, el modelado matemático así como procesos que ayudan a describir el funcionamiento del corazón, han jugado un papel muy importante en el impulso de la investigación de la fisiología cardiaca. El corazón humano puede considerarse un sistema complejo, pero robusto, que tiene muchas maneras de ser modelado. En varios de estos modelos debe incluirse el efecto de millones de células, lo que demanda una alta capacidad de cómputo. Una opción para superar esta importante limitación ha sido desarrollar modelos que describan macroscópicamente la actividad eléctrica del corazón a través de la señal de electrocardiograma (ECG). A este respecto, recientemente, se han desarrollado técnicas basadas en algoritmos de inteligencia artificial (IA) para construir modelos matemáticos a partir de datos. Motivados por las capacidades de autoaprendizaje que exhiben los algoritmos de IA, en este trabajo se construye un modelo matemático capaz de reproducir señales de electrocardiograma en estado sano usando redes neuronales y matrices dispersas. Las redes neuronales son entrenadas únicamente con registros de electrocardiograma. La reconstrucción del conjunto de ecuaciones diferenciales que describen el modelo matemático se basa en una biblioteca de funciones polinomiales de orden n. Las señales ECG generadas por el modelo propuesto muestra un acuerdo cuantitativo y cualitativo comparadas con las señales ECG objetivo.

El problema armónico bidimensional (clásico y cuántico) de dos centros fijos

En este estudio se considera una partícula moviéndose en el plano sujeta a interacciones armónicas con dos centros fijos. De forma genérica, el sistema es caótico. Clásicamente, los movimientos periódicos y caóticos son caracterizados de forma integral mediante series de tiempo, análisis de Fourier, secciones de Poincaré, líneas de simetría y el promedio del máximo exponente de Lyapunov en función de los parámetros del sistema (distancias de equilibrio) y de la energía. En el sistema cuántico, se determina la energía variacional del estado base $E_0$ en función de los parámetros del sistema. Se discute brevemente la conexión clásico-cuántica del problema.

Estudio numérico y analítico de la sincronización de tres sistemas caóticos usando acoplamiento elástico-giroscópico

Gran cantidad de fenómenos naturales se pueden describir usando modelos matemáticos no lineales. Muchos de estos modelos se suelen presentar como sistemas de baja dimensionalidad con un comportamiento caótico. La sincronización de dos o más sistemas sucede cuando alguno de ellos modifica su comportamiento para adaptarse a otro. El estudio de la sincronización es de interés actual para comprender gran variedad de fenómenos en distintas áreas de la ciencia. Colonias de luciérnagas, células cardíacas, sistemas nerviosos, ciclos circadianos y láseres acoplados son algunos ejemplos de sincronización de sistemas caóticos. Durante una sincronización de sistemas caóticos, uno de los aspectos importantes es el tipo de acoplamiento utilizado. Algunos de los acoplamientos más comunes son los que usan la posición (acoplamiento elástico) o la velocidad (acoplamiento disipativo) y recientemente, la aceleración (giroscópico). Es bien sabido que de la elección del acoplamiento depende la existencia o eficacia de la sincronización. En este trabajo, se estudia la sincronización de tres sistemas caóticos diferentes bajo un acoplamiento combinado. Se resuelve numéricamente las ecuaciones de la sincronización y se calcula un diagrama de bifurcación para conocer los valores de la constante de acoplamiento donde se genera sincronización de los sistemas. Después, se usa la teoría de perturbación para obtener una solución analítica que se compara con los resultados numéricos. Hemos caracterizado el rango de las constantes de acoplamiento donde se puede lograr la sincronización. Agradecimiento: CONAHCYT y CIC-UMSNH.

Modelos matemáticos para describir la dinámica de enfermedades infecciosas

En la actualidad, debido a la COVID-19 es común escuchar sobre curvas y dinámicas de contagio, de hospitalización, de recuperación y de defunción, así como de predicciones y/o proyecciones de estas dinámicas a futuros en corto y mediano plazo. Sin embargo, salvo aquellas personas inmersas en el tema, la comprensión o entendimiento de toda la jerga empleada para describir este comportamiento es escasa, sobre todo cuando se habla del empleo de modelos matemáticos para respaldar lo dicho. En este trabajo de investigación se presenta una breve descripción de los modelos matemáticos más empleados para describir el comportamiento y el impacto de la enfermedad infecciosa denominada COVID-19, además de explicar el empleo de estos modelos para coadyuvar a combatir esta pandemia. Para ilustrar la efectividad de estos modelos, se presentan simulaciones de algunos modelos matemáticos y se cotejan con datos reportados por la OMS. Se propone un modelo matemático que contempla tiempos muertos de incubación, de recuperación y de pérdida de inmunidad que puede servir describir mejor el comportamiento de la enfermedad. Se analizan la dinámica del sistema mediante métodos numéricos, los modelos estudiados permiten justificar algunas medidas que se han tomado durante la crisis sanitaria que hemos vivido a nivel mundial. El modelo permite saber que el aislamiento social es fundamental para reducir el número de personas susceptibles y con ello, reducir el número de infecciosos.

Conteo de ciclos límite en los sistemas de Liénard

El problema 16 de Hilbert es un problema que, a día de hoy, sigue abierto, generando campos de estudio e investigación en cuanto a la existencia y conteo de los ciclos límite en sistemas de ecuaciones diferenciales planares. Un grupo particular de estos sistemas son los sistemas de Liénard, los cuales son una manera de reescribir una ecuación diferencial de segundo orden en dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Este tipo de sistemas son muy investigados porque tienden a presentar ciclos límite, especialmente los sistemas polinomiales. En este trabajo, investigamos la estabilidad y el número de ciclos límite a partir de proponer nuevas funciones en la transformada de Liénard que nos dará información respecto a los ciclos límite que aparecen en el sistema. Además, extendemos nuestro análisis no solo a funciones polinomiales, sino también a funciones trigonométricas, funciones definidas a trozos, y funciones que no son de clase C1 en todo el espacio, llegando a dar un resultado sobre cómo esta función del sistema, la cual llamaremos función potencial, nos da la información sobre los ciclos límite que presenta el sistema y la estabilidad.

Sistema tipo Jerk - Vand der Pol

Varios de los sistemas dinámicos de relevancia en diferentes áreas del conocimiento y en particular en física se pueden expresar como una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de tercer grado $J(\dddot{x},\ddot{x},\dot{x},x)=0$, conocida como ecuación de Jerk. Por otro lado el sistema de Van der Pol describe un oscilador no lineal con amortiguamiento no lineal $P(\ddot{x},\dot{x},x)=0$. La combinación de estos dos sistemas genera un sistema dinámico más complejo, rico en comportamientos no lineales debido al término de amortiguamiento no lineal del oscilador de Van der Pol así como de su potencial asociado $V(x)$. En este trabajo presentamos el análisis de un sistema dinámico tipo Jerk-Van der Pol con un potencial $V(x)$ sinusoidal, la forma de este potencial genera una infinidad de puntos de equilibrio, aunque los que se encuentran cerca del origen son los que predominan y controlan de manera sustancial la dinámica caótica. A través del análisis de la dinámica del sistema se muestra que existen regiones de bifurcación, auto-oscilación, de estabilidad y de inestabilidad.

Sincronización maestro - esclavo de sistema caotico Chua - Chua

La sincronización de sistemas caóticos es un tema vigente con diversas propuestas entre las que figura la sincronización de sistemas idénticos en el que uno de ellos funge como maestro y el otro como esclavo para el que se obtiene una función de control a través de la construcción de una función de Liapunov o a través de un método de hamiltoniano generalizado, entre otros. En este trabajo damos una forma alternativa de sincronización tipo maestro esclavo para el sistema de Chua clásico definido por una función de valor absoluto. Un análisis analítico del comportamiento de las funciones de error es presentado, lo que permite mostrar la sincronización. Además se muestra que se tiene la sincronización para valores diferentes de uno de los parámetros, con condiciones iniciales diferentes o iguales que corresponden a dinámicas de ciclos límites y atractores extraños.

Caracterización de la Dinámica del Sistema de Rössler para la Encriptación Segura de Imágenes Digitales

En este trabajo presentamos un análisis detallado de la caracterización de la dinámica para el sistema tridimensional de Rössler con una aplicación específica en la encriptación de imágenes. Esta caracterización es una representación gráfica que ilustra cómo varían los exponentes de Lyapunov, que cuantifican la tasa de divergencia de trayectorias cercanas, en función de los parámetros del sistema. La aplicación en la encriptación de imágenes aprovecha la sensibilidad a las condiciones iniciales y la complejidad inherente a los sistemas caóticos. Los valores de los exponentes de Lyapunov se utilizan para generar claves criptográficas dinámicas, que varían con cada iteración del sistema, asegurando la seguridad en la encriptación y desencriptación de imágenes digitales. Los resultados obtenidos demuestran que este enfoque proporciona una robustez significativa contra ataques criptográficos, destacando la utilidad de la caracterización de la dinámica en aplicaciones prácticas de seguridad informática.

Multiestabilidad en una variante de un sistema Jerk Van der Pol

En este estudio investigamos la multiestabilidad en una variante del sistema Jerk Van der Pol, un sistema no lineal conocido por su capacidad de exhibir comportamientos dinámicos complejos. El enfoque principal de nuestro análisis fue la caracterización de las regiones caóticas y la coexistencia de atractores dentro del espacio de parámetros del sistema. Inicialmente, calculamos los exponentes de Lyapunov para mapear las regiones del espacio de parámetros donde el comportamiento caótico es predominante. Estos exponentes nos permitieron identificar con precisión las zonas de alta sensibilidad a las condiciones iniciales, características del caos. Nuestro análisis reveló una rica estructura de regiones caóticas intercaladas con comportamientos periódicos y cuasi-periódicos. Adicionalmente, exploramos la coexistencia de atractores mediante el análisis de las cuencas de atracción del sistema. Las cuencas de atracción, que definen el conjunto de condiciones iniciales que evolucionan hacia un determinado atractor, fueron visualizadas para diferentes configuraciones de parámetros. Este estudio permitió observar la presencia de múltiples atractores coexistentes y la sensibilidad de las cuencas a las variaciones en los parámetros del sistema. La complejidad y la topología fractal de las cuencas de atracción subrayan la naturaleza intrínsecamente complicada del sistema y su capacidad para exhibir multiestabilidad.

Caracterización de la dinámica caótica de una variante del sistema de Lorenz y su implementación electrónica

Este estudio caracteriza la dinámica caótica de una variante del sistema de Lorenz y su implementación electrónica. Calculamos los exponentes de Lyapunov para mapear regiones caóticas en el espacio de parámetros, identificando zonas de alta sensibilidad a las condiciones iniciales. Para la implementación electrónica, diseñamos un circuito análogo utilizando amplificadores operacionales, resistencias y condensadores, replicando las ecuaciones diferenciales del sistema modificado. Las salidas del circuito, analizadas con osciloscopios y analizadores de espectro, confirmaron la presencia de atractores extraños y propiedades estadísticas del caos. Se realizaron pruebas experimentales exhaustivas, ajustando parámetros del circuito y validando resultados con simulaciones numéricas. Este trabajo no solo proporciona una caracterización precisa de la dinámica caótica, sino que también demuestra la viabilidad de su implementación electrónica para aplicaciones como generación de señales pseudoaleatorias y sistemas de comunicación segura.

Análisis de la Dinámica Caótica en Sistemas Hamiltonianos Periódicamente Perturbados y su Representación Geométrica

La dinámica caótica en sistemas hamiltonianos periódicamente perturbados se caracteriza geométricamente. Estos sistemas conservan el volumen del espacio fase, estirando y plegando pequeños volúmenes de condiciones iniciales hasta abarcar grandes secciones del espacio. Esta propiedad se visualiza geométricamente mediante secciones de Poincaré, donde trayectorias únicas atraviesan repetidamente el plano de Poincaré. El oscilador armónico, un arquetipo de sistemas hamiltonianos; se examina bajo perturbaciones periódicas. Este mapeo iterativo depende de la frecuencia natural del oscilador y un parámetro entero que determina la resonancia. La fuerza de la perturbación y la periodicidad controlan la simetría y el ancho de las capas estocásticas en el espacio fase extendido. Utilizando Matlab, se implementaron mapas iterativos para manipular estos parámetros. Para valores pequeños de la perturbación, los patrones son mayormente regulares; al incrementar la perturbación, surgen capas estocásticas complejas. Valores pares pequeños del parámetro de resonancia producen patrones de simetría regular, mientras que valores impares pequeños generan estructuras cuasicristalinas

Conteo de ciclos límite en los sistemas de Lienard

El problema 16 de Hilbert es un problema que, a día de hoy, sigue abierto, generando campos de estudio e investigación en cuanto a la existencia y conteo de los ciclos límite en sistemas de ecuaciones diferenciales planares. Un grupo particular de estos sistemas son los sistemas de Liénard, los cuales son una manera de reescribir una ecuación diferencial de segundo orden en dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Este tipo de sistemas son muy investigados por que tienden a presentar ciclos límite, especialmente los sistemas polinomiales. En este trabajo, investigamos la aparición y forma de los ciclos límite a partir del uso de una función que nos dará toda la información respecto a los ciclos límite que aparecen en el sistema, como cuántos aparecen y si son estables o inestables. Además, extendemos nuestro análisis a funciones no únicamente polinomiales, sino también a funciones trigonométricas, funciones definidas a trozos, y funciones que no son de clase C1 en todo el espacio, llegando a dar un resultado sobre cómo esta función, la cual llamaremos potencial, nos dice todo sobre los ciclos límite del sistema.

Control impulsivo del sistema de Chen

Existen muchos métodos para controlar sistemas caóticos, entre ellos se han utilizado algunos esquemas impulsivos para sincronizar dos sistemas caóticos. En este trabajo presentamos el control impulsivo del sistema caótico de Chen. Presentamos las condiciones bajo las cuales un sistema de Chen puede ser controlado impulsivamente hasta el origen. También se presentan los límites superiores de los intervalos de impulso para un control impulsivo asintóticamente estable. La estabilidad de un esquema de control impulsivo es la estabilidad de la solución trivial de una ecuación diferencial impulsiva. Por lo tanto, utilizamos la teoría de ecuaciones diferenciales impulsivas para estudiar el control impulsivo del sistema de Lorenz. Se presentan resultados experimentales numéricos.

Estudio numérico de la dinámica del sistema de chua sujeto a efectos de retraso

El estudio del caos en circuitos eléctricos es un área de investigación bien establecida en la literatura, dada su importancia en la transmisión y encriptación de información. En este trabajo se estudia numéricamente la dinámica del circuito de Chua, en su estado caótico de doble atractor, sujeto a efectos de retraso. Se consideran efectos de retraso en sus variables dinámicas, tanto individuales como combinadas. La caracterización de la dinámica del sistema de Chua con retrasos se hace calculando la entropía de Shannon en los canales XY del sistema. También se hace una descomposición temporal de las señales usando el método de descomposición empírica de modos (EMD, por sus siglas en inglés), propuesto por Huang et. al para analizar señales no lineales y no estacionarias. Los resultados logrados nos permiten identificar básicamente tres escenarios: a) efectos de retraso individual en las variables X y Z del sistema de Chua, desestabilizan completamente al sistema; b) efectos de retraso en la variable Y del sistema de Chua permite la preservación en su estado caótico; c) las combinaciones de retraso entre las variables del sistema permiten una mayor flexibilidad para la preservación del sistema en su estado caótico. Se hace un comparativo con el sistema de Chua sin retrasos Los resultados obtenidos se pueden aplicar en esquemas de encriptación de información y en el diseño de estructuras más complejas. Trabajo apoyado por el programa CIC-UMSNH 2024.

Dinámica de una variante de mapas senoidales

El mapa senoidal original es un modelo discreto que presenta una dinámica similar al mapa logístico [1], exhibiendo mecanismos de doblamiento de periodos que eventualmente lleva hacia el caos. En este trabajo se analiza la dinámica de una familia de mapas senoidales, mediante el uso de los diagramas de bifurcación, de sus espectros de Lyapunov y el método de descomposición empírica de modos (EMD, por sus siglas en inglés). Los primeros dos métodos son técnicas estándares de la teoría de sistemas dinámicos [2], en tanto que el método EMD fue introducido por Huang y otros [3], para analizar señales temporales altamente irregulares en términos de una superposición de funciones de media cero, llamadas funciones de modo implícito (IMF, por sus siglas en inglés). Los resultados obtenidos muestran que la dinámica de esta familia de mapas es muy diferente al del mapa senoidal conocido en la literatura. En particular, la nueva dinámica está caracterizada por la aparición de bandas rectas altamente caóticas mezcladas con zonas típicas del comportamiento del mapa senoidal conocido en la literatura. El espaciamiento de estas bandas está caracterizado por un parámetro de control. La descomposición EMD exhibe señales IMF a tiempos de escala diferentes en función del parámetro de control definido para esta familia de mapas. Trabajo apoyado a través del proyecto CIC-UMSNH 2024. 1. May, R. M. (1976). Nature, 261, p. 459. 2. Strogatz, S. H. (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books Publishing, LLC, pp. 148–150. 3. Huang, N. E., et al. (1998). Proc. R. Soc. A, 454, pp. 903–995.

Estabilidad de los ciclos límites de un sistema polinomial en el plano sujeto a perturbaciones armónicas monocromáticas y bicromáticas

La teoría de sistemas no lineales en el plano está bien establecida. El teorema de Poincaré-Bendixson, el teorema de Lienard, etc., son herramientas que pueden ser utilizadas para estos fines. En este trabajo se estudia numéricamente la estabilidad de los ciclos límites de un sistema polinomial de orden 14 en el plano, cuando está sujeto a perturbaciones armónicas, tanto en una de las componentes (monocromáticas) como en ambas (bicromáticas). El sistema original, cuando no está sujeto a perturbaciones, permite la coexistencia de varios ciclos límites. Para analizar el efecto de las perturbaciones armónicas, se usa un enfoque entrópico basado en la entropía de Shannon en el espacio fase, así como una descomposición temporal de las señales usando el método de descomposición empírica de modos. Los resultados alcanzados nos permiten concluir que: a) las perturbaciones monocromáticas mantienen la estabilidad de los ciclos límites exteriores, pero no de los interiores; b) las perturbaciones bicromáticas inducen inestabilidades en los ciclos límites que llevan eventualmente a una evolución caótica del sistema. Los resultados logrados se pueden aplicar en configuraciones de encriptación de información y en el diseño de estructuras más complejas. Trabajo apoyado por el programa CIC-UMSNH 2024.

Estudio de la dinámica de una variante del mapa logístico basada en la serie geométrica

La dinámica del mapa logístico es ampliamente conocida en la literatura [1]-[2]. En este trabajo se analiza la dinámica de una extensión del mapa logístico en donde se hace uso de la serie geométrica para incluir términos adicionales, tanto alternantes como no alternantes en signo, en uno de los términos del mapa logístico original. Se utilizan los diagramas de bifurcación y los espectros de Lyapunov, así como el método de descomposición empírica de modos [3] (EMD, por sus siglas en inglés), para caracterizar la dinámica del mapa propuesto. Los resultados obtenidos muestran que la dinámica de estos mapas guarda similitudes y diferencias con el mapa logístico conocido en la literatura. En particular, el rango de valores del parámetro de control que define la ventana del desdoblamiento de periodos a la transición al caos, está reducido en comparación con la del mapa logístico normal. También, el efecto de la alternancia en signos de los términos adicionales que caracteriza al mapa logístico propuesto, queda de manifiesto en un corrimiento de las ventanas periódicas y zonas caóticas. La descomposición EMD exhibe señales IMF a tiempos de escala diferentes en función del parámetro de control definido para esta familia de mapas. Esta clase de mapas logísticos extendidos puede usarse en esquemas de encriptación. Trabajo apoyado a través del proyecto CIC-UMSNH 2024. 1. May, R. M. (1976). Nature, 261, p. 459. 2. Strogatz, S. H. (2000). Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus Books Publishing, LLC, pp. 353–369. 3. Huang, N. E., et al. (1998). Proc. R. Soc. A, 454, pp. 903–995.

Análisis de acoplamiento de sistemas caóticos idénticos sin puntos de equilibrio

El análisis de acoplamiento de sistemas caóticos idénticos sin puntos de equilibrio, no es una tarea sencilla, principalmente por que no hay algún punto de equilibrio, lo que podría generar que estos sistemas no se estabilicen, además de que la interacción entre los sistemas, aunque idénticos, resulta ser no lineal por lo que pequeños cambios en una variable pueden causar cambios drásticos en el sistema acoplado y dificultar la sincronización. En este trabajo para el sistema dinámico de Sprott A con funciones $(x,y,z)$ , caracterizado por los parámetros $(a,b,c,k)$ que para diferentes valores de los parámetros del sistema y un conjunto de condiciones iniciales $(x_0,y_0,z_0)$ presenta un comportamiento caóticos sin puntos de equilibrio. Se presenta un modelo de acoplamiento con un sistema secundario idéntico $(X,Y,Z)$, es decir, con la misma estructura matemática y parámetros $(A,b,c,k)$, con los valores del parámetro $A=\beta a$ y con condiciones iniciales diferentes $(X_0,Y_0,Z_0)$. Se muestra que para condiciones iniciales idénticas el sistema secundario acoplado y el original se relaciona mediante $X=\sigma x$ $Y=y$ $Z=z$, $\beta\neq 1$ con $\sigma=\sigma(\beta)$. Mientras que si se mantienen los mismos parámetros y se modifican las condiciones del sistema secundario, mediante $(x_0+\alpha,y_0+\beta,z_0+\gamma)$, se presenta un acoplamiento y un desplazamiento entre el sistema original y el sistema secundario relacionado con los valores de $(\alpha, \beta, \gamma)$.

Sistemas dinámicos de orden fraccional

Se abordan brevemente los fundamentos del cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que amplía el concepto de derivada e integral de ordenes enteros a fraccionarios, centrandonos en particular en la derivada ``conforme". Se discute además cómo esta herramienta matemática ha sido utilizada para extender el estudio de sistemas dinámicos de orden fraccional exponiendo algunos teoremas fundamentales para su respectivo análisis de estabilidad así como algunos ejemplos de sistemas dinámicos fraccionales.

Sincronización de Sistemas Dinámicos con Multiestabilidad

La sincronización de sistemas dinámicos es un fenómeno fascinante y ampliamente estudiado en diversos campos, desde la física hasta la ingeniería y la biología. En este trabajo se centra en la comprensión y el estudio de la sincronización de sistemas dinámicos que presentan multiestabilidad, empleando el sistema de Rössler PWL modificado y el sistema Li-Sprot. Se analizan dos configuraciones para acoplar los sistemas: configuración en anillo y lineal. Estudiamos los efectos de las constantes de acoplamientos a través de los diagramas de bifurcación y las funciones de error, en las configuraciones de anillo y lineal. Los resultados numéricos muestran que la variación de las constantes de acoplamientos conduce a la aparición de diferentes comportamientos dinámicos y diferentes tipos de sincronización. Analizamos las funciones de error para encontrar el rango de valores de las constantes de acoplamientos donde se logra la sincronización completa.

Resolución y Análisis de Sistemas Dinámicos de Primer y Segundo Orden

La resolución de sitemas de primer y segundo orden es de gran relevancia en materias como teoría de control y robótica, dinámica de sistemas físicos e ingeniería de control, debido a la importancia y aplicación que se tiene en el diseño de prácticamente cualquier tipo de sistemas. Este protecto se centra en la explicación de qué son los sistemas de primer y segundo orden, la modelación matemática de un circuito RLC (Resistencia, inductor y capacitor) de primer y segundo orden, la obtención de la respuestas a entradas tipo escalón unitario y rampa unitaria, la simulación de los modelos mencionados anteriormente con el software MATLAB, así como la construccion física del circuito. Se realiza la comparación de los resultados obtenidos mediante simulación, modelación y la obtención del margen de error.

Análisis de estabilidad del sistema Lotka-Volterra con extensión espacial 1-D

En el presente trabajo se analiza el sistema de ecuaciones Sistema Lotka-Volterra que describe la dinámica de poblaciones presa-depredador. El sistema consta de dos ecuaciones diferenciales, una para la población de presas ($u$) y otra para la población de depredadores ($v$). Se identifican dos puntos fijos en el sistema, que representan estados de equilibrio donde las poblaciones no cambian con el tiempo. El análisis de estabilidad de estos puntos fijos se analiza mediante la Teoría de la estabilidad lineal. Esto se extiende al análisis del modelo en una dimensión con difusión espacial, donde las poblaciones, ahora expresadas en ecuaciones diferenciales parciales, se distribuyen a lo largo de una línea con términos de difusión que representan el movimiento de presas y depredadores. Se utiliza el método de diferencias finitas para resolver numéricamente el sistema y se presentan resultados sobre la dinámica de poblaciones en este contexto espacial.

Estructuras no lineales compactas en teoría de campos clásicos

La comprensión y manipulación de los solitones ofrecen nuevas oportunidades para la investigación científica y el desarrollo tecnológico. Desde la exploración del comportamiento de la materia hasta la optimización de sistemas de comunicación, los solitones continúan desempeñando un papel destacado en la expansión de nuestro conocimiento y en la innovación en diversos campos de estudio. Los compactones son soluciones matemáticas que describen ondas altamente localizadas y de ensanchamiento finito en sistemas no lineales. A diferencia de los solitones, que se propagan sin cambio de forma, los compactones pueden deformarse o desvanecerse en ciertas condiciones. El presente trabajo aborda el tema de las propiedades dinámicas de los compactones como entidades mas realistas de procesos no lineales, debido principalmente a su ausencia de interacciones a larga distancia.

Estudio de estabilidad de oscilaciones auto excitadas, enfoque de altas derivadas

Las vibraciones autoinducidas o auto excitadas son provocadas por la interacción de todos los elementos dentro de un sistema dinámico estacionario. La energía que alimenta a estas vibraciones es obtenida por mecanismos del mismo sistema que se analiza y no por fuentes exteriores. Este tipo de comportamientos se puede encontrar en sistemas en los que las fuerzas excitantes están en función de las variables de movimiento y no solo el tiempo. \[ F = F(t,q,\dot{q}, \ddot{q},..., q^{(n)})\] Este tipo de sistema es especialmente útil cuando es necesario hacer descripciones del movimiento de un cuerpo y su relación con su entorno. Estos problemas van desde la dinámica estructural de aviones hasta vibraciones de estructuras altas e instrumentos musicales. La forma tradicional de estudiar la estabilidad de estos sistemas es mediante el método perturbaciones de Lindstedt-Poincare o análisis de sus diagramas de fase. En este trabajo se propone el método de Ostrogradski. Esto se lleva a cabo con la modificación del formalismo Hamiltoniano para que incluya derivadas de orden superior. El teorema de Ostrogradski nos indica: “Si una Lagrangiana no degenerada $L(q,...,q^{(n)})$ depende de la n-sima derivada de una configuración de una única variable $q$ con $n>1$, entonces la función de energía de la imagen Hamiltoniana no tiene límite inferior”. Esto nos dice que para sistemas cuya Lagrangiana depende de derivadas de orden superior y el determinante de su matriz Hessiana es diferente de 0, no tendrán un limite inferior para su energía, esto nos lleva usualmente a resultados no físicos. Este enfoque de derivadas de orden superior no parece haber sido empleado con anterioridad para el estudio especifico de las vibraciones auto excitadas. En este trabajo se propuso poner a prueba la efectividad de este método en este contexto y hacer comparaciones con los métodos estándar para los sistemas que presentan este fenomeno. Se da uso a métodos analíticos y numéricos..

Transmision de información mediante solitones en el axon de la celula nerviosa

Las redes neuronales son un tema que intriga a los científicos de todo el mundo, su función y las formas en que transmite la información es un enigma que hasta el momento no se ha podido descifrar. Desde el punto de vista de la física existen diversas formas de interpretar el funcionamiento de las neuronas. En la presente investigación, sobre la transmisión de información en el axón de la célula nerviosa, se aborda este tema mediante la suposición de que la información se propaga mediante ondas de densidad no lineales llamados también solitones en lugar de pulsos eléctricos. Esto debido principalmente a la poca o casi nula emanación de calor durante el proceso de transmisión de señales. Se analizan las propiedades dinámicas de las soluciones solitonicas y probablemente la versión mas realista de todas estas estructuras serian los compactones.

Análisis de estabilidad por Lyapunov de sistemas de potencia interconectados

Los convertidores de potencia han sido ampliamente utilizados para proveer energía regulada mediante un planteamiento adecuado de una ley de control. Aunque se sabe que estos sistemas son controlables en forma conmutada, poco se han explorado criterios de estabilizabilidad en sistemas interconectados (convertidores con otros elementos dinámicos). En este trabajo se analiza la estabilidad de un sistema conformado por un convertidor Boost (elevador) y un panel fotovoltaico. Para poder realizar la conjunción de ambos sistemas se considera la transformación del modelo conmutado del convertidor a una expresión promediada. La expresión matemática de una celda fotovoltaica está basada en la ecuación de Shockley. Una ecuación que describa la operación completa del panel es descrita a través de la adición del elemento dependiente de la ecuación de Shockley (diodo) en conjunto con elementos resistivos para definir voltajes y corrientes de salida. Derivado de que esta ecuación no es dinámica no es posible acoplarla al sistema de ecuaciones diferenciales del convertidor. Se realiza la inclusión de la dinámica del panel a través del desacoplo por medio de la carga de un capacitor de salida. La carga del capacitor representará el voltaje de entrada al sistema de ecuaciones del convertidor. Una vez teniendo un sistema de tres ecuaciones diferenciales acopladas se analiza el sistema mediante la búsqueda de una función de Lyapunov. Se verifican las condiciones/restricciones de la función de Lyapunov para definir la estabilizabilidad del sistema en algún sentido. Se simula la interacción del sistema de ecuaciones y se grafica la dinámica presente. La presentación de este trabajo en el Congreso Nacional de Física tiene como objetivo que impacte en estudiantes de ciencias básicas e ingenierías para que conozcan/apliquen consideraciones teóricas en una representación real de control de energía.